具有多个停留点的无理流的历史行为 versus 物理测度

我们研究二维环面上具有两个二次阶停留点（记为 $\mathbf p$ 和 $\mathbf q$）的无理线性流的平滑重参数化轨迹上的 Birkhoff 平均。此类平均的极限行为在满 Haar-Lebesgue 测度集上与起点无关，并以复杂的方式依赖于线性流斜率 $\alpha$ 的丢番图性质以及 $\mathbf p$ 与 $\mathbf q$ 的相对位置。特别地，若 $\alpha$ 为丢番图数，则 Birkhoff 极限几乎处处发散（历史行为）；若 $\alpha$ 为充分刘维尔数，则存在某些 $\mathbf p$ 和 $\mathbf q$ 使得 Birkhoff 平均几乎处处收敛（唯一物理测度）。