虚二次域$\mathbb{Z}_p$扩张族上的希尔伯特第十问题

通过Iwasawa理论的新应用，我们研究了虚二次域$K$的$\mathbb{Z}_p$塔中出现的数域上的希尔伯特第十问题。对于奇素数$p$，直线$(a,b) \in \mathbb{P}^1(\mathbb{Z}_p)$与$\mathbb{Z}_p$扩张$K_{a,b}/K$一一对应。在涉及显式椭圆曲线的$K$的某些条件下，我们确定了一条直线$(a_0,b_0) \in \mathbb{P}^1(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$，使得对于所有满足$(a,b)\not\equiv (a_0,b_0)\pmod{p}$的$(a,b) \in \mathbb{P}^1(\mathbb{Z}_p)$，希尔伯特第十问题在$K_{a,b}$的所有有限层中都有否定答案。利用Kriz-Li和Bhargava等人的结果，我们证明对于素数$p=3,11,13,31,37$，正比例的虚二次域满足我们的判据。