数域反环域塔中的希尔伯特第十问题

设 $K$ 为一个虚二次域，$p$ 为在 $K$ 中分裂的奇素数。设 $E_1$ 与 $E_2$ 为定义在 $K$ 上的椭圆曲线，使得 $Gal(\bar{K}/K)$-模 $E_1[p]$ 与 $E_2[p]$ 同构。我们证明，在关于 $E_1$ 与 $E_2$ 的某些显式附加条件下，$K$ 的反环域 $\mathbb{Z}_p$-扩张 $K_{anti}$ 在 $K$ 上是整丢番图的。当这些条件满足时，我们推导出希尔伯特第十问题的新情形。更具体地，这些条件意味着希尔伯特第十问题对包含在 $K_{anti}$ 中的所有数域均不可解。我们通过构造 $p=3$ 与 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 的显式例子来说明我们的结果。