Hilbert 第三问题与三维流形不变量

本文是我在 David Epstein 生日会上演讲的扩充，该演讲追溯了从 Euclid 关于多边形细分的想法到近期双曲 3-流形不变量研究的一条逻辑进程。这一“逻辑进程”构成了一个好故事，但稍微扭曲了历史：故事中人物的终极目标往往远离 3-流形理论。我们在第 1 节从 Hilbert 关于维数 3 的剪刀同余的第三问题的现状阐述开始。第 2 节我们解释其与 3-流形理论的相关性，并由此通过一种精细的“定向敏感”版剪刀同余来引出 Bloch 群。这不是它的历史动机，其历史动机是研究 C 的代数 K 理论。这一“定向敏感”剪刀同余涉及的某些类比并不完美，并促成了第 4 节中的进一步精细化。第 5 节串联了各种线索并讨论了一些问题与猜想。