Hilbert-P\'olya 猜想、Zeta 函数与玻色量子场论

原始的 Hilbert-P\'olya 猜想断言 Riemann zeta 函数的非平凡零点可以是某个自伴算子的谱。迄今为止，尚未找到这样的算子。然而，在谱理论的背景下，Hilbert 和 P\'olya 的建议可以扩展以处理其他问题，因此很自然地会问：是否存在与数论中产生并 motivated 的其他数列相关的量子力学系统？在本文中，我们证明了与一类假设物理系统相关联的功能积分无法构造，这些系统由与玻色场相关的自伴算子描述，其谱由三个不同的数列给出。此处考虑的数列的共同特征导致了 zeta 正则化的不可能性，即附着于这些数列的各种 Dirichlet 级数（例如对"素数"求和的 $(\mathrm{norm} \ P)^{-s}$）具有自然边界，也就是说，它们无法解析延拓到直线 $\mathrm{Re}(s)=0$ 之外。主要论点是，一旦 Laplacian 的正则化行列式在 $s$ 中是亚纯的，那么上述级数就不可能是正则化行列式。换言之，我们证明了相关量子场论的连通 Schwinger 函数的生成泛函无法构造。