Hilbert-Kunz 重数与 F-签名可能相异

我们计算了任意一个在 $\mathbb{P}^1_k$ 上的非平凡 ruled surface 上（其中 $k$ 为特征为素数的代数闭域）的 $F$-签名函数。作为应用，我们构造了一个特征为素数的 Noetherian $F$-finite 强 $F$-regular 环 $R$，其在两个最大理想 $\mathfrak{n}_1,\mathfrak{n}_2\in \mathrm{Spec} R$ 处测量不同的奇点；即 $\operatorname{e}_{\operatorname{HK}}(R_{\mathfrak{n}_1})<\operatorname{e}_{\operatorname{HK}}(R_{\mathfrak{n}_2})$ 且 s(R_{\mathfrak{n}_1})<s(R_{\mathfrak{n}_2)。我们对 Hirzebruch surface 的 $F$-签名的计算也纠正了另一些作者预印本中存在的不准确之处。