Douglas-Ahlfors 恒等式的高维推广

记 ${\mathcal D}$ 为复平面中的开单位圆盘，$\partial {\mathcal D}$ 为其边界。Douglas 通过关注函数 $u$ 的傅里叶系数表示的一个相同量证明了：\begin{eqnarray}\label{abs} A(u)=\int_{\mathcal D}|\bigtriangledown U|^2dxdy\&=\&\frac{1}{2\pi}\int\int_{\partial {\mathcal D}\times \partial {\mathcal D}} \left|\frac{u(z_1)-u(z_2)}{z_1-z_2}\right|^2|dz_1||dz_2|,\end{eqnarray} \end{abstract} 其中 $u\in L^2(\partial {\mathcal D})$，$U$ 是 $u$ 在 ${\mathcal D}$ 中的调和延拓。Ahlfors 通过不同的证明给出了 $A(u)$ 的第四个等价形式（见 (\ref{more})）。本文研究高维球面上对应量之间的关系，采用了若干不同但常用的设定，即欧几里得 ${\mathbb R}^n$（$n\ge 2$）中的调和函数、四元数代数中的正则函数，以及实 Clifford 代数 ${\mathcal{CL}}_{0, n-1}$ 上的 Clifford 单正则函数，后者由乘法反交换的基本虚单位 ${\e}_1, {\e}_2, \cdots, {\e}_{n-1}$ 生成，满足 ${\e}_j^2=-1$（$j=1, 2, \cdots, n-1$）。值得注意的是，虽然相同的等价关系对 ${\mathbb R}^n$ 中的调和函数和四元数代数中的正则函数成立，但对于 Clifford 代数设定 $n>2$，关系 (\ref{more}) 必须被一个本质上不同的规则所替代。