有限交换环上的高阶 Davenport 常数

我们将 Davenport 常数的概念推广到“高阶”情形，并获得了各种下界与上界，对于某些素幂阶有限交换环这些界是精确的。捕捉这些高阶 Davenport 常数本质的两个简单例子如下。1) 设 $n = 2^k$，则任意长度为 $2n$ 的整数序列 $S$ 包含一个长度至少为 2 的子序列 $S'$，使得 $\sum_{a_i,a_j \in S'} a_ia_j \equiv 0 \pmod{n}$，且该界是紧的。2) 设 $n \equiv1 \pmod{2}$，则任意长度为 $2n -1$ 的整数序列 $S$ 包含一个长度至少为 2 的子序列 $S'$，使得 $\sum_{a_i,a_j \in S'} a_ia_j \equiv 0 \pmod{n}$。这些例子说明，若来自有限交换环的元素序列足够长，则某些对称表达式在该子序列的元素上必然为零。