racks 与 quandles 的高阶覆盖——第一部分

本文是一个三部曲系列文章的第二部分（原文如此，实为第一部分），我们在其中发展 racks 与 quandles 的高阶覆盖理论。该项目植根于 M. Eisermann 关于 quandle 覆盖的工作，以及 V. Even 带来的范畴视角，其将覆盖刻画为相对于平凡 quandles 为中心的那些满射。我们通过应用高阶范畴 Galois 理论（在 G. Janelidze 意义下）的技术来扩展该工作，特别地，我们识别出定义我们的 racks 与 quandles 高阶覆盖的有意义的高维中心性条件。在这第一篇文（第一部分）中，我们重访并澄清了相关覆盖理论的基础，将其推广到更一般的 racks 语境，并从数学上描述了如何在 racks 与 quandles 之间转换。我们解释了其中的代数要素，并加强了这些要素的同伦与拓扑解释。特别地，我们论证并强调共轭函子 Conj（在群与 racks（或 quandles）之间）的左伴随的关键作用。我们将此函子重命名为 Pth，并解释其将 rack 映到其路径同伦类群的意义。我们利用 Pth 刻画覆盖与相对中心性，同时也对这些条件发展更具直观性的“几何”理解。我们对 racks 与 quandles 的中心扩张的刻画使用了可推广且直观的替代证明。我们从 Galois 理论视角完整恢复了 M. Eisermann 的特设构造（弱万有覆盖与基本群胚）。我们勾勒了如何由范畴 Galois 理论基本定理推得 M. Eisermann 的详细分类结果。我们铺陈了所有将在第二、三部分发展的高维理论中串联起来的思想与结果。