热含量的 Weyl 级数的高阶项

本文研究具有光滑边界的 $d$ 维区域上与 Dirichlet Laplacian 相关的谱函数的 Weyl 级数。在热核的情况下，Berry 和 Howls 预测了由一组参数表征的 Weyl 级数的渐近形式。在此，我们关注另一种谱函数，即（归一化）热含量。我们在几个精确可解的例子中证明，对于偶数 $d$，相同的渐近公式在参数取不同值时仍然成立。所考虑的区域是 $d$ 维球体以及偏心率为 $\epsilon$ 的椭圆区域的两种极限情形：微变形圆盘（$\epsilon\to 0$）和极扁长椭圆（$\epsilon\to 1$）。这些情形包括具有圆对称性的二维区域，以及经典台球只有一条最短周期轨道的区域。我们还分析了奇数维 $d$ 球体的热含量，对于这种情形，Weyl 级数的渐近形式发生了显著变化。