高阶三项递归、Riemann-Hilbert子式和星形集上的Nikishin系统

我们研究由高阶三项递归xQ_n(x)=Q_{n+1}(x)+a_{n-p} Q_{n-p}(x)生成的monic多项式Q_n(x)，其中p≥1任意且对所有n有a_n>0。该递归由一个双对角Hessenberg算子H编码。我们的主要结果之一是，对于周期系数a_n且在特定条件下，Q_n是关于支撑在复平面星形集上的Nikishin正交性系统的多重正交多项式。这改进了Aptekarev-Kalyagin-Saff最近的一个结果，该结果在∑_{n=0}^∞|a_n-a|<∞（对某个a>0）的情况下得到了与Nikishin系统的形式联系。本文的一个重要工具是研究“Riemann-Hilbert子式”，或等价地，Hessenberg矩阵H的“广义特征值”。我们通过全正矩阵证明了广义特征值的交错关系。在渐近周期系数a_n的情况下，我们找到了Riemann-Hilbert子式的弱渐近和比率渐近，并得到了与向量平衡问题的联系。我们预期，未来对Riemann-Hilbert子式的研究可能对更一般的多重正交多项式类有用。