具有有损顶点扩张的高围长近拉马努金图

Kahale 证明了 $d$-正则拉马努金图中线性大小集合的顶点扩张约为 $\frac{d}{2}$，并构造了顶点扩张不优于 $\frac{d}{2}$ 的近拉马努金图作为补充。然而，Kahale 的构造遇到了阻碍更好顶点扩张的高度局部性障碍。特别地，扩张不良的集合与图中的短圈相关联。因此，自然地会问高围长拉马努金图是否具有改善的顶点扩张。我们的结果有两方面：1. 对于每个素数 $p$ 对应的 $d = p+1$ 以及无穷多个 $n$，我们给出一个 $n$ 顶点 $d$-正则图，其围长为 $\Omega(\log_{d-1} n)$，且子线性大小集合的顶点扩张以 $\frac{d+1}{2}$ 为界，其非平凡特征值的模以 $2\sqrt{d-1}+O\left(\frac{1}{\log n}\right)$ 为界。2. 在任何围长为 $C\log n$ 的拉马努金图中，所有大小不超过 $n^{0.99C/4}$ 的集合具有顶点扩张 $(1-o_d(1))d$。分析我们构造的工具包括无限图的非回溯算子、Ihara--Bass 公式、受 Bordenave 对 Friedman 定理证明启发的迹矩方法，以及 Kahale 研究扰动图特征值离散程度的方法。