素数中的隐藏多尺度序

我们研究区间 $M \leq p \leq M + L$ 中素数之间的配对关联，其中 $M \rightarrow \infty$，$L/M \rightarrow \beta > 0$。通过分析结构因子，我们在 Hardy-Littlewood 素数对猜想成立的条件下证明，素数具有出乎意料的多尺度序。具体而言，其极限结构因子是无穷多个周期系统之并的结构因子，并以稠密的 Dirac delta 函数集为特征。二进区间中的素数是我们所称的有效极限周期点构型的首批例子。该行为意味着相较于非关联(Poisson)系统，在大尺度下密度涨落异常受抑，此即现今所知的高斯均匀性(hyperuniformity)。利用由结构因子计算的标量序参量 $\tau$，我们辨识出当 $L$ 与 $M$ 相当时所呈现的序与当 $L$ 仅为 $M$ 的对数级时的非关联行为之间的转变。我们对结构因子的分析导出一种高精度重建二进区间中素数的算法。