l0 伪范数中的隐藏凸性
最优化与控制
2021-06-18 v2
摘要
所谓的 l0 伪范数统计欧几里得空间向量的非零分量个数。众所周知，l0 伪范数不是凸的，因为其 Fenchel 双共轭为零。在本文中，我们引入一种由新型耦合 E-Capra 诱导的合适共轭，该耦合具有像 l0 伪范数一样沿原始射线为常数的性质。耦合 E-Capra 属于我们引入的单边线性耦合类；我们证明它们诱导出的共轭与经典 Fenchel 共轭共享良好性质。对于由耦合 E-Capra 诱导的 E-Capra 共轭，我们将 l0 伪范数的 E-Capra 共轭与双共轭、其水平集的特征函数以及所谓的 top-k 范数序列联系起来。特别地，我们证明 l0 伪范数等于其双共轭：因此，l0 伪范数在广义凸性意义下是 E-Capra-凸的。作为推论，我们证明存在一个适当的凸下半连续函数，使得该函数与 l0 伪范数在欧几里得单位球面上重合。这种隐藏凸性性质有些出人意料，因为 l0 伪范数是具有组合性质的高度非凸函数。我们给出了该适当凸下半连续函数的不同表达式，并给出了二维情形下的显式公式。
引用
@article{arxiv.1906.04038,
title = {Hidden Convexity in the l0 Pseudonorm},
author = {Jean-Philippe Chancelier and Michel de Lara},
journal= {arXiv preprint arXiv:1906.04038},
year = {2021}
}
备注
arXiv admin note: text overlap with arXiv:1902.04816