Fano 簇量子上同调中的螺旋结构

在本文中，我们考虑第二作者于 1998 年柏林 ICM 之际提出的猜想（arXiv:math/9807034v2）。该猜想陈述了对于 Fano 簇 $X$，量子上同调 $QH^\bullet(X)$ 的半单性条件与导出凝聚层范畴 $\mathcal D^b(X)$ 中完全例外集的存在条件之间的等价性。此外，在其定量表述中，该猜想还规定了 $QH^\bullet(X)$ 的单调数据（monodromy data）与 $X$ 及例外集对象的示性类之间的显式关系。在本文中，我们重新表述了（arXiv:math/9807034v2）的一个精细化版本，它修正了先前关于中心联络矩阵猜想表达式的 ansatz（第二作者在斯特拉斯堡的讲座）。我们阐明了本文所提出的精细化猜想与 S. Galkin、V. Golyshev 和 H. Iritani 的 $\Gamma$-猜想 II（arXiv:1404.6407v4, arXiv:1508.00719v3）之间的精确关系。通过对单调数据的显式计算以及对辫群在单调数据和例外集集合上作用的详细分析，我们证明了我们的精细化猜想对所有复 Grassmann 簇 $\mathbb G(r,k)$ 成立。由这些结果，勾勒出了在 Grassmann 簇小量子上同调的点处可实现的例外集之“地理分布”的显式描述，即对应于这些点处的单调数据。特别地，证明了 Kapranov 例外集仅在小维数（即不大于 2）的 Grassmann 簇的小量子上同调点处出现。最后，描述了复 Grassmann 簇的 Stokes 矩阵沿小量子上同调轨迹的准周期性性质。