Harary多项式

给定图性质$\mathcal{P}$，F. Harary于1985年引入了$\mathcal{P}$-染色，即每种颜色类诱导出属于$\mathcal{P}$的图的图染色。令$\chi_{\mathcal{P}}(G;k)$表示用至多$k$种颜色对$G$进行$\mathcal{P}$-染色的数目。结果表明，对每个图$G$，$\chi_{\mathcal{P}}(G;k)$是$\mathbb{Z}[k]$中的多项式。此类图多项式称为Harary多项式。本文研究Harary多项式的性质，并将其与经典色多项式$\chi(G;k)$的性质进行比较。我们证明了特征多项式与拉普拉斯多项式、匹配多项式、独立多项式与支配多项式不是Harary多项式。我们证明对于各类稀疏、非平凡性质$\mathcal{P}$，多项式$\chi_{\mathcal{P}}(G;k)$与$\chi(G;k)$不同，不是色不变的，甚至不是边消去不变量。最后我们研究Harary多项式是否可在单调二阶逻辑（Monadic Second Order Logic）中定义。