一类加权格点路径的 Hankel 行列式

本文的主要目标是计算一类格点路径的 Hankel 行列式，这些路径以步集 $\{(1,0), (2,0), (k-1,1), (-1,1)\}$（其中参数 $k\geq 4$）为特征。这些路径被限制返回 $x$ 轴并保持在 $x$ 轴上方。在计算 $k = 4$ 时，问题本质上归结为确定 $E(x)$ 的 Hankel 行列式，其中 $E(x)$ 定义为 $$E(x) = \frac{a}{E(x)x^2(dx^2 - bx - 1) + cx^2 + bx + 1}.$$ 我们的方法涉及采用 Sulanke-Xin 连分数变换推导出一组递推关系，进而得到所需结果。对于 $k \geq 5$，我们利用 Wang-Xin-Zhai 定义的一类移位周期连分数，从而获得了本文所呈现的结果。