可引导局部哈密顿量问题及其对启发式 Ansätze 态制备与量子 PCP 猜想的启示

我们研究了近期定义的引导局部哈密顿量（Guided Local Hamiltonian）问题的“Merlin 化”版本，称之为“可引导局部哈密顿量（Guidable Local Hamiltonian）”问题。与引导版本不同，这些问题在输入中不提供引导态，而仅承诺存在一个引导态。我们特别考虑了两类引导态：可由量子电路高效制备的；以及属于我们称之为经典可求值的一类量子态，这类态可对局域观测量的期望值进行高效经典计算。我们证明，对于这两类引导态，可引导局部哈密顿量问题在逆多项式精度设定下是 $\mathsf{QCMA}$-完全的，但当引导态为经典可求值时，在常数精度情形下属于 $\mathsf{NP}$（或 $\mathsf{NqP}$）。我们的完全性结果表明，从复杂性理论角度看，只要能使用量子相位估计，由经典启发式选择的经典 Ansätze 与由量子启发式制备的量子 Ansätze 同样强大。关于量子 PCP 猜想，我们（i）定义了一个刻画量子-经典概率可检验证明系统的复杂性类，并证明在常数证明查询下它包含于 $\mathsf{BQP}^{\mathsf{NP}[1]}$；（ii）对将已知量子归约（将 $\mathsf{QPCP}$ 验证电路映射为具有常数承诺隙的局部哈密顿量）“去量子化”给出了不可能结果；（iii）给出了若干保持特定基态性质的量子能隙放大过程存在性的不可能结果；以及（iv）提出了两个可视为 NLTS 定理更强版本猜想。最后，我们表明许多结果可直接修改以获得关于 $\mathsf{MA}$ 类的类似结论。