公平巧克力条游戏的 Grundy 数

巧克力条游戏是 CHOMP 游戏的变体,其目标是给对手留下巧克力的唯一苦块。本文中,我们研究阶梯形巧克力条,其宽度由距苦块的水平距离的固定函数决定。当巧克力条宽度与距苦块的距离成正比且比例常数为偶数时,作者已证明该巧克力条的 Grundy 数为 $(m-1) \oplus (n-1)$,其中 $m$ 为巧克力的最大宽度,$n$ 为距苦块的最长水平距离。该结果发表于一份数学期刊(Integers,15, 2015)。另一方面,若比例常数为奇数,该巧克力条的 Grundy 数不为 $(m-1) \oplus (n-1)$。因此,自然地寻求巧克力条具有等于 $(m-1) \oplus (n-1)$ 的 Grundy 数的充要条件,其中 $m$ 为巧克力的最大宽度,$n$ 为距苦块的最长水平距离。在本文第一部分,作者给出该充要条件。接下来,我们修改 Grundy 数等于 $(m-1) \oplus (n-1)$ 的条件,并研究了巧克力条具有等于 $((m-1) \oplus (n-1+s))-s$ 的 Grundy 数的充要条件,其中 $m$ 为巧克力的最大宽度,$n$ 为距苦块的最长水平距离。我们在本文第二部分给出该充要条件。