图的小mim-width识别问题的难度及其变体

图的mim-width 是一个强大的结构参数，当其被界定为常数时，可使多个难题在多项式时间内可求解——近期已有 meta-theorem 涵盖大类问题 [SODA2023]。自该参数提出以来，多个变体如 sim-width 和 omim-width 被开发，以及这些参数的线性版本。最近显示出mim-width 及所有这些变体都是 paraNP-hard 的，这是 NP-hardness of distinguishing between graphs of linear mim-width at most 1211 and graphs of sim-width at least 1216 [ICALP2025] 的结果。宽度识别问题的复杂度，特别是接近 $1$ 的宽度，长期以来一直是开放状态，尽管它们特别具吸引力的算法应用。本文中，我们表明即使在小宽度上，宽度识别问题仍为 NP-hard。具体而言，在引入位于 omim-width 与 mim-width 之间的新参数 Omim-width 后，我们证明：(1) 判断图是否具有 sim-width = 1、omim-width = 1 或 Omin-width = 1 为 NP-hard，线性变体亦然；(2) 判断图的 mim-width $\leq$ 2 或 linear mim-width $\leq$ 2 是否为 NP-hard。有趣的是，我们的化约相对简单，来自 Unrooted Quartet Consistency problem，这是计算生物学中极具兴趣的问题，但在算法理论中并不常见（若存在）。