$(H_1, H_2)$-自由图的 sim-width 与 mim-width 的算法应用

Mim-width 与 sim-width 是最具影响力的图宽度参数之一，其中 sim-width 强于 mim-width，而 mim-width 又强于 clique-width。尽管若干 $\mathsf{NP}$ 困难图问题在 mim-width 有界且可快速计算的图类上变得可处理，但目前尚不知 sim-width 有界性的任何算法应用。在 [Kang et al., A width parameter useful for chordal and co-comparability graphs, Theoretical Computer Science, 704:1-17, 2017] 中，提出了如下问题：\textsc{Independent Set} 与 \textsc{$3$-Colouring} 在 sim-width 至多为 $1$ 的图上是否为 $\mathsf{NP}$ 完全的。我们观察到，对每个 $k \in \mathbb{N}$，\textsc{List $k$-Colouring} 在 sim-width 有界且可快速计算的图类上是多项式时间可解的。此外，我们证明若 \textsc{Independent Set} 同样如此，则 \textsc{Independent $\mathcal{H}$-Packing} 在 sim-width 有界且可快速计算的图类上是多项式时间可解的。该问题是 \textsc{Independent Set}、\textsc{Induced Matching}、\textsc{Dissociation Set} 与 \textsc{$k$-Separator} 的共同推广。我们还就在 $H_1$ 为完全图或无边图情形下 $(H_1,H_2)$-自由图的 mim-width 分类取得了进展。我们的结果解决了 [Brettell et al., Bounding the mim-width of hereditary graph classes, Journal of Graph Theory, 99(1):117-151, 2022] 中的若干开放问题。