正加权亏群及其应用

本文引入了抽象群和pro-$p$群的加权亏概念，并研究了推广Golod-Shafarevich群的正加权亏群。为研究加权亏，我们引入了群的秩和子群的指标的加权版本，并建立了组合群论中若干经典结果的加权类比，包括Schreier指标公式。给出了正加权亏群的两个主要应用。首先，我们构造了无限有限生成剩余有限$p$-挠群，其中每个有限生成子群要么是有限的，要么具有有限指数——这些群可视为Tarski怪兽的剩余有限类比。其次，我们发展了一种构造具有预定性质的刚无限群（抽象或pro-$p$）的新方法；特别地，我们证明了刚无限群的分次群代数可以具有指数增长。我们还证明了每个正加权亏群都有一个遗传刚无限商群。这否证了Boston关于某些伽罗瓦群商群结构的猜想，并解决了Kourovka笔记本中的问题15.18。