群表示与椭圆纤维化 Calabi-Yau 三维流形的欧拉示性数

对于每一个带有截面 $X$ 的椭圆 Calabi-Yau 三维流形，可以联系一个李群 $G$ 以及该群的一个表示 $\rho$。该群由 Weierstrass 模型确定，此模型具有通常为有理双点的奇点；这些双点导出 $G$ 的局部因子，它们或是相应的 A-D-E 群，或是某些相伴的非单连通群。表示 $\rho$ 是来自 $G$ 的局部因子的表示，以及可联系到奇点比通常更坏之点的其他表示之和。这一构造最初源于物理学，而相关物理理论中反常消去的要求对 $X$ 与 $\rho$ 之间的联系作出了一些令人惊讶的预言。特别地，预言了 $X$ 的欧拉示性数的一个显式公式（用 $\rho$ 表示）。我们在本文中给出了该公式的纯数学证明，并在此过程中引入了椭圆 Calabi-Yau 三维流形的一个新的不变量。在某些关于所出现奇点类型的（温和）假设下，我们也验证了作为反常消去之推论的其他几何预言。作为副产品，我们还发现了在 Deligne 所研究的“例外列”中单连通群的 Coxeter 数与秩之间的一个新颖关系。