群作用、Mattila积分及其应用

由Mattila开发的Mattila积分 $${\mathcal M}(\mu)=\int {\left( \int_{S^{d-1}} {|\widehat{\mu}(r \omega)|}^2 d\omega \right)}^2 r^{d-1} dr,$$ 是研究Falconer距离问题的主要工具。在本文中，通过一个非常简单的论证，我们发展了Mattila积分的一个推广版本。我们的第一个应用是考虑距离的乘积 $$(\Delta(E))^k= \left\{\prod_{j=1}^k |x^j-y^j|: x^j, y^j\in E\right\}$$ 并证明当 $d\geq 2$ 时，如果 $\dim_{\mathcal{H}}(E)>\frac{d}{2}+\frac{1}{4k-1}$，则 $(\Delta(E))^k$ 具有正的勒贝格测度。另一个应用是，我们证明对于任意 $E,F,H\subset\mathbb{R}^2$，若 $\dim_{\mathcal{H}}(E)+\dim_{\mathcal{H}}(F)+\dim_{\mathcal{H}}(H)>4$，则集合 $$E\cdot(F+H)=\{x\cdot(y+z): x\in E, y\in F, z\in H\}$$ 具有正的勒贝格测度。