一个 $L^2$-恒等式与钉住距离问题

设 $\mu$ 为 $E\subset\mathbb{R}^d$ 上的 Frostman 测度。球平均衰减 $$\int_{S^{d-1}}|\widehat{\mu}(r\omega)|^2\,d\omega\lesssim r^{-\beta}$$ 最初经由 Mattila 积分用于攻击 Falconer 距离猜想。本文考虑钉住距离问题——Falconer 距离问题的更强版本，并证明球平均衰减意味着两者具有相同的维数阈值。特别地，利用已知最佳的球平均估计，我们显著改进了 Peres-Schlag 关于钉住距离问题的结果。思想是将钉住距离问题化归到一个可应用球平均的积分。关键要素如下恒等式。利用群作用论证，我们证明对 $\mathbb{R}^d$ 上任意 Schwartz 函数 $f$ 及任意 $x\in\mathbb{R}^d$，$$\int_0^\infty |\omega_t*f(x)|^2\,t^{d-1}dt\,=\int_0^\infty|\widehat{\omega_r}*f(x)|^2\,r^{d-1}dr,$$ 其中 $\omega_r$ 为 $r S^{d-1}$ 上的归一化曲面测度。一个有趣的注记是，右端易见等于 $$c_d\int\left|D_x^{-\frac{d-1}{2}}e^{-2\pi i t\sqrt{-\Delta}}f(x)\right|^2\,dt=c_d'\int\left|D_x^{-\frac{d-2}{2}}e^{2\pi i t\Delta}f(x)\right|^2\,dt.$$ 附录中也给出了经由群作用的 Mattila 积分的另一种推导。