低正则性时空中的格林算子与量子场论

本文发展所需的数学工具，以描述低正则性时空中量子场的观测量。特别地，我们考虑具有 $C^{1,1}$ 度量 $g$ 的全局双曲时空 $M$ 上的无质量标量场 $\phi$。这首先需要证明波方程的（经典）柯西问题对 Sobolev 空间中的初始数据与源项是适定的，然后构造低正则性的超前与推迟格林算子，作为合适函数空间之间的映射。在指定相关函数空间时，我们需要控制 $\phi$ 与 $\square_g\phi$ 的范数，以确保 $\square_g \circ G^\pm$ 与 $G^\pm \circ \square_g$ 在这些空间上是恒等映射。因果传播子 $G=G^+-G^-$ 随后被用于在一个赋范空间 $V(M)$ 上定义辛形式 $\omega$，并证明该空间同构于 $\ker \square_g$。这使得人们能够以拟局域 $C^*$-代数的元素给出量子场的局部协变描述。