标准单形膨胀中的格点与格拉斯曼流形

本文研究了格拉斯曼流形 ${\rm Gr}(d,d+r)$ 的上同调环 ${\rm H^{\ast}(Gr}(d, d+r),\Z)$ 与标准 d-单形膨胀 $r\Delta_{d}$ 的格点之间的显著联系。上同调上的自然分次诱导了 $r\Delta_{d}$ 格点的不同分次。这导致标准 $d$-单形 Ehrhart 多项式 $L_{\Delta_{d}}(r)$ 的不同细化。我们研究了其中由权 $(1,1,\dots,1)$ 与 $(1,2,\dots, d)$ 定义的两种细化。其中一种细化将 Poincaré 多项式 ${\rm P(Gr}(d,d+r),z)$ 解释为对位于膨胀 $r\Delta_d$ 切片超平面上的格点计数。因此，在组合层面上，格拉斯曼流形 Gr$(d,d+r)$ 的 Poincaré 多项式是标准 $d$-单形 $\Delta_{d}$ 的 Ehrhart 多项式 $L_{\Delta_d}(r)$ 的一种细化。