图形化 Krein 签名理论与 Evans-Krein 函数

两个性质截然不同的概念已被证明在谱稳定性的分析和数值研究中非常有用：(i) 特征值的 Krein 签名，这是一个通常根据某些子空间的相对取向定义的量，能够检测虚特征值的结构不稳定性，从而检测其在系统扰动下移入右半平面并导致动力学不稳定性的潜力；(ii) Evans 函数，一个用于检测特征值位置的解析函数。人们可能会预期这两个概念是相关的，但不幸的是，实例表明通常无法从 Evans 函数推导出特征值的 Krein 签名。本文旨在回顾并推广多项式算子束谱理论中众所周知的 Krein 签名的简单图形化解释。这种解释完全避免了从根子空间及其与不定二次型的关系角度来看待 Krein 签名的需要。为了展示这种 Krein 签名图形化解释的实用性，我们利用它定义了 Evans 函数的一个简单推广——Evans-Krein 函数——该函数允许以易于纳入现有 Evans 函数评估代码且几乎不增加额外计算成本的方式计算 Krein 签名。图形化 Krein 签名还使我们能够为有限维设置中的线性化 Hamiltonian 提供索引定理的优雅证明：一个一般性结果，其推论包括广义 Vakhitov-Kolokolov 判据（或 Grillakis-Shatah-Strauss 判据）以及对规范形式下线性化 Hamiltonian 系统实特征值的计数。这些应用展示了如何利用 Krein 签名简单的图形化性质。