预算约束随机图过程中的图因子与哈密顿圈幂
组合数学
2025-03-03 v1
摘要
我们考虑由 Frieze、Krivelevich 和 Michaeli 提出的如下预算约束随机图过程。一个称为 Builder 的玩家被逐一呈现 的 条不同边，这些边是均匀随机选取的。Builder 最多可以购买这些边中的 条，并且必须在每条边被提供时立即（不可撤销地）决定是否购买它。Builder 的目标是构建一个满足特定性质的图；我们研究了包含不同 -因子或哈密顿圈幂的性质。对于任意的 ，我们得到了 Builder 为获得部分 -因子所需预算 作为 的函数的一般下界。这些下界蕴含了许多不同生成结构的下界，例如哈密顿圈的幂。值得注意的是，我们的结果表明，如果 接近部分 -因子的命中时间，那么预算 不能大幅低于 。这些结果对 Frieze、Krivelevich 和 Michaeli 的问题给出了否定回答。反之，我们也展示了构建（部分）-因子的一种简单策略，特别地，证明了我们的一般下界在常数因子内是紧的。该策略中的思想可以被利用于其他性质。作为示例，我们得到了哈密顿圈幂的渐近最优策略。为了正式证明该策略成功，我们开发了分析多阶段策略的新工具，这可能对研究其他性质具有普遍意义。
引用
@article{arxiv.2502.20870,
title = {Graph factors and powers of Hamilton cycles in the budget-constrained random graph process},
author = {Alberto Espuny Díaz and Frederik Garbe and Tássio Naia and Zak Smith},
journal= {arXiv preprint arXiv:2502.20870},
year = {2025}
}