在预算约束下构建具有高最小度的图

我们考虑在以下受控随机图过程中构建最小度 $k\ge 1$ 的图的问题，该过程由 Frieze、Krivelevich 和 Michaeli 最近引入。假设 $n$ 个顶点的完全图的边被均匀随机置换。玩家 Builder 逐一观察边，并且必须在看到每条边时不可撤销地决定是否购买它。假设 Builder 当且仅当至少一个端点在她的图中的度数小于 $k$ 时才购买一条边。Frieze、Krivelevich 和 Michaeli 观察到，该策略在 $\tau_k$（即达到最小度 $k$ 的命中时间）时成功构建了最小度至少为 $k$ 的图。他们猜想，任何使用少 $\epsilon n$ 条边的策略，其中 $\epsilon>0$ 为任意常数，都会以高概率失败。在本文中，我们反驳了他们的猜想。我们证明，对于 $k\ge 2$，Builder 有一种策略，购买少 $n/9$ 条边，并且能在 $\tau_k$ 时以高概率成功构建最小度至少为 $k$ 的图。对于 $k=1$，我们证明任何使用少 $\epsilon n$ 条边的策略都会以远离 0 的概率失败，并展示了这样一种策略，它能以远离 0 的概率成功。