Grad-Caflisch 点态衰减估计的再探

在 Caflisch 那篇有影响力的论文 \cite{Caflish-1980-CPAM} 中——该文是将 Hilbert 展开法用于 Boltzmann 方程流体极限严格证明的起点——Caflisch 发现了关于每一项展开项的一个优雅且关键的估计（\cite{Caflish-1980-CPAM} 中的命题 3.1）。该证明本质上依赖于 Grad \cite{Grad-1963} 的一个估计，即关于线性化 Boltzmann 碰撞算子 $\mathcal{L}$ 的伪逆算子 $\mathcal{L}^{-1}$ 在硬势碰撞核（即幂次 $0\leq \gamma\leq 1$）下的点态衰减性质。Caflisch 的论证需要 Grad 估计的指数版本。然而，Grad 的原始论文仅涉及多项式衰减。在本文中，我们重新审视并给出了 Caflisch-Grad 型衰减估计以及其在 Boltzmann 方程可压缩 Euler 极限中相应应用的完整证明。主要新颖之处在于，对于碰撞核幂次 $-\frac{3}{2}<\gamma\leq 1$ 的情形，该点态估计的证明不使用任何导数。因此该估计的潜在应用可能比在 Hilbert 展开中更广。为结果的完整性，我们也利用导数对 $-3<\gamma\leq -\frac{3}{2}$ 的情形证明了几乎处处点态估计。此外，在流体极限的应用中，$\mathcal{L}^{-1}$ 与关于参数的导数（例如 $(t,x)$，当 $\mathcal{L}$ 在依赖于 $(t,x)$ 的局部 Maxwellian 附近线性化时必然如此）不可交换。我们详细分析了交换子的估计，这在以往 Boltzmann 方程流体极限的文献中是缺失的。该估计在所有从 Boltzmann 方程出发的可压缩流体极限中都是需要的。