好整数：(T,k)-子类及其在编码理论伽罗瓦对偶性中的应用

好整数的概念，即非零互质整数$a$和$b$的序列$(a^s+b^s)_{s\ge 1}$的因子，连同其子族如奇好整数和偶好整数，已成为研究阿贝尔码和循环码的欧几里得对偶性与埃尔米特对偶性的重要算术工具。基于此视角，本文引入并研究了由序列$\bigl(a^{ks+T}+b^{ks+T}\bigr)_{s\ge 1}$（其中$0\leq T<k$为整数）导出的另一个有趣的好整数子类，其因子被称为关于$(a,b)$的$(T,k)$-好整数。本文发展了这些整数的算术理论，包括在奇素数幂处的刻画、基于$2$-进赋值的奇数的一般刻画，以及对偶数的处理。还给出了一个显式算法，用于判定给定整数$d$关于$(a,b)$是否为$(T,k)$-好的，并且当其为好时，计算指数$s$使得$d\mid \bigl(a^{ks+T}+b^{ks+T}\bigr)$。然后，通过特化$(a,b)=(q,1)$（其中$q$是素数的幂）获得了编码理论中的应用。特别地，循环群$\mathbb Z_n$的$q^k$-分圆类刻画了$\F_{q^k}$上$x^n-1$的伽罗瓦自互反不可约因子，给出了$\F_{q^k}$上长度为$n$的伽罗瓦LCD循环码的描述和计数，并导出了伽罗瓦自对偶循环码的刻画。