压力梯度系统二维黎曼问题的全局解

我们关注由压力梯度系统（一个二维双曲型守恒律系统）建模的可压缩流动的二维（$2$-D）黎曼问题。黎曼初始数据由四个扇区区域中的四个常状态组成，使得在相邻状态间产生两道激波和两道涡片。该黎曼问题可化为自相似坐标下的边值问题，以黎曼初始数据为其渐近边界数据，并带有由黎曼初始数据确定的两个声速圆，对应于一个非线性混合-复合类型系统。解在外声速圆之外保持四个常状态和四个平面波。两道激波保持平面直至它们在不同点处与外声速圆相遇，然后产生一道衍射激波，预期连接这两点，其确切位置是事先未知的，被视为自由边界。于是该二维黎曼问题可重新表述为一个自由边界问题，其中衍射跨声速激波为连接两点的单相自由边界，而外声速圆的其余部分构成该问题固定边界的一部分。我们建立了该自由边界问题解的全局存在性，以及衍射激波跨两点处和外声速边界处解的最优 $C^{0,1}$ 正则性。此处的一个关键观察是，在自相似坐标中衍射跨声速激波不能与内声速圆相交。因此，该二维黎曼问题被全局求解，其解包含两道涡片和一道连接由黎曼数据产生的两道原始激波的全局二维激波。