常微分方程的 GL(2,R) 几何
微分几何
2007-10-02 v1
摘要
我们研究与 GL(2,R) 的 5 维不可约表示相关联的五维几何。这些是签名 (3,2) 的特殊 Weyl 几何，其结构群从 CO(3,2) 约化为 GL(2,R)。该约化是通过全对称 3-张量的共形类实现的。在所有 GL(2,R) 几何中，我们区分出一个子类，称为“近可积 GL(2,R) 几何”。这些几何定义了一个唯一的 gl(2,R) 联络，其挠率是全反对称的。该挠率分裂为维数分别为 3 和 7 的 GL(2,R) 不可约分量。我们证明，在满足某些三个非线性微分条件的每个 5 阶常微分方程的解空间上，存在一个近可积 GL(2,R) 几何，使得其唯一 gl(2,R) 联络的反对称挠率非常特殊。与任意的近可积 GL(2,R) 几何不同，它属于 GL(2,R) 的 3 维不可约表示。该结构存在的条件是 Boris Doubrov [7] 最近发现的 Doubrov-Wilczynski 条件的低阶等价形式。我们提供了满足这三个非线性微分条件的 5 阶常微分方程的非平凡例子，进而提供了维数为五、挠率在 R^3 中的非齐次 GL(2,R) 几何的例子。我们还概述了与 5<n<10 维 GL(2,R) 不可约表示相关联的 GL(2,R) 几何的理论和基本性质。特别是，我们给出了 n 阶常微分方程在其解空间上拥有此几何的条件。
引用
@article{arxiv.0710.0297,
title = {GL(2,R) geometry of ODE's},
author = {Michal Godlinski and Pawel Nurowski},
journal= {arXiv preprint arXiv:0710.0297},
year = {2007}
}