群代数的幻影数

受稳定同伦理论中 Freyd 著名未解问题的启发，关于有限群稳定模范畴的生成假设是指：如果由平凡表示生成的厚子范畴中的一个映射在 Tate 上同调中诱导零映射，则该映射是稳定平凡的。已知对于大多数群，生成假设不成立。在针对 $p$-群所做工作的基础上，我们定义了群代数的幻影数，这是一个用于衡量生成假设失效程度的自然数。我们描述了幻影数与 Auslander-Reiten 三角之间的密切关系，并在一般三角范畴中针对一般投射类陈述了许多结果。随后，我们计算了多个 $p$-群族（包括交换 $p$-群、四元数群和二面体 $2$-群）的幻影数及其界限，并给出了一个用根式长度表示的一般下界，这是据我们所知的第一个一般下界。最后，我们对具有小幻影数的 $p$-群的群代数进行了分类，并给出了此类群代数可能幻影数中存在间隙的例子。