优化格上 Rényi 熵的几何

优化是一种随机排序关系，用于比较概率分布的相对多样性，在计量经济学、谱理论和生态学中有大量应用。众所周知，优化偏序在有序概率分布集上构成一个完备格。在本文中，我们研究了 Rényi 熵在优化格上的性质。我们建立了一组边缘分布相关联的同单调耦合与独立耦合之间的基本关系。因此，我们证明对于任意阶数 $\alpha \in [0,\infty]$，Rényi 熵在优化格上是次可加的。我们进一步刻画了超模态区域，证明对于 $\alpha \in \{0\} \,\cup\, [1,\infty]$，Rényi 熵在优化格上是超模态的。对于 Tsallis 熵，我们证明对于任意阶数 $\alpha \in [0,\infty)$，它在优化格上同样满足次可加性。最后，我们证明，与 Rényi 熵不同，对于任意 $\alpha \in [0,\infty)$，Tsallis 熵在优化格上都是超模态的。