局域化有效理论的几何、精确半经典近似与代数指标

在本文中，我们提出了一个通用框架来研究 $\sigma$-模型的量子几何，当它们被有效局域化到常数映射周围的小量子涨落时。此类有效理论在全部圈阶上具有关于目标几何的惊人精确描述，并且可以被严格表述。我们阐明了如何在该框架中将精确半经典近似的物理思想转化为几何设定，使用高斯-曼宁联络。作为一个应用，我们通过拓扑量子力学的例子详细实施了这一方案，并解释了如何将精确半经典近似的思想实现为代数指标定理的一个证明。该证明与阿蒂亚-辛格指标定理的物理推导十分相似，并澄清了许多其他数学构造的几何面貌。