高阶区间内多变量范德瓦尔德矩阵的几何驱动条件

我们研究了具有任意互不相同的节点$Z=\{z_1,\dots,z_s\}\subset B_2^n$的多变量范德瓦尔德矩阵$V_N(Z)$，在高阶区间$N\ge s-1$下的行为。引入基于投影的几何统计量——最大-最小投影分离度$\rho(Z,j)$及其最小值$\kappa(Z)=\min_j\rho(Z,j)$——构造具有显式系数界的拉格朗日多项式$Q_j\in\mathcal P_N^n$，其满足$$\|Q_j\|_\infty\lesssim s\Bigl(\frac{4n}{\rho(Z,j)}\Bigr)^{s-1}.$$这些多项式为$V_N(Z)$的行提供了定量的到张量的距离估计，从而导致$$\sigma_{\min}(V_N(Z))\gtrsim\frac{\kappa(Z)^{s-1}}{(4n)^{s-1} s\sqrt{s \nu(n,N)}}, \quad \nu(n,N)={N+n\choose N},$$以及具有算子范数控制的显式右逆$V_N(Z)^+$满足$$\|V_N(Z)^+\|\lesssim s^{3/2}\sqrt{\nu(n,N)}\Bigl(\frac{4n}{\kappa(Z)}\Bigr)^{s-1}.$$我们的估计是维度显式的，直接以局部几何参数$\kappa(Z)$表示；它们适用于$B_2^n$中任意互不相同的节点集合$Z$，无需任何事前分离假设。特别是，当$N\ge s-1$时，$V_N(Z)$具有满列秩。结果补充了在复单位圆/ torus 上的傅里叶类型理论，后者中$\sigma_{\min}$的下界依赖于均匀分离或聚类结构；本文则通过高多项式次数和$Z$的投影几何来量化稳定性。