高维随机矩阵构建的最大点间距离的对数律

假设 $\left \{ X_{i,k}; 1\le i \le p, 1\le k \le n \right \}$ 是一个独立同分布的实随机变量数组。令 $\left \{ p=p_{n}; n \ge1 \right \}$ 为正整数。考虑最大点间距离 $M_{n}=\max_{1\le i< j\le p} \left \| \boldsymbol{X}_{i}- \boldsymbol{X}_{j} \right \|_{2}$，其中 $\boldsymbol{X}_{i}$ 和 $\boldsymbol{X}_{j}$ 分别表示 $p \times n$ 矩阵 $\mathcal{M} _{p,n}=\left( X_{i,k} \right)_{p \times n}$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行。本文展示了 $M_{n}$ 在两种高维设定下的对数律：多项式速率和指数速率。证明依赖于独立同分布随机变量部分和的中偏差原理、Chen--Stein Poisson 近似方法以及高斯近似。