Vandermonde 多项式的线性投影

n 元 Vandermonde 多项式是这样一个 $n \times n$ 矩阵的行列式：其第 $i$ 列为向量 $(1, x_i, x_i^2, ...., x_i^{n-1})^T$。Vandermonde 多项式在交错多项式理论中起着至关重要的作用，并出现在 Lagrange 多项式插值以及纠错码理论中。在本工作中，我们研究了 Vandermonde 多项式线性投影的结构和计算方面。首先，我们考虑测试给定多项式是否线性等价于 Vandermonde 多项式的问题。当多项式 $f$ 以线性因子的乘积形式给出时，我们获得了一种确定性多项式时间算法来测试 $f$ 是否线性等价于 Vandermonde 多项式。当多项式 $f$ 以黑盒形式给出时，我们的算法在随机多项式时间内运行。通过进一步探索 Vandermonde 多项式投影的结构，我们描述了 Vandermonde 多项式的对称群，并证明了相关的 Lie 代数是单代数。