分层规则网络的几何与动力学

本文对近期提出的分层规则网络 HN3 和 HN4 进行了详细分析。我们利用重整化群论证表明，作为 3-正则平面图的 HN3，其直径随系统规模 $N$ 以 $\sqrt{N}$ 的速度增长，且 HN3 上的随机游走表现出超扩散行为，其反常指数为 $d_w = 2 - \log_2\phi = 1.306...$，其中 $\phi = (\sqrt{5} + 1)/2 = 1.618...$ 为“黄金分割比”。相比之下，作为非平面 4-正则图的 HN4，其直径增长速度慢于 $N$ 的任意幂次，但快于 $\ln N$ 的任意幂次。在退火近似下，我们证明了 HN4 上的扩散输运是弹道式的 ($d_w = 1$)。两种图上的游走者均具有幂律拖尾的首次返回概率，其特征指数为 $\mu = 2 -1/d_w$。本文还明确证明了 HN3 上的回归性质依赖于起始位点。