$\text{PSL}_2\Bbb R$ 中几乎极值表示的几何化

设 $S$ 为亏格 $g$ 的闭曲面。本文中，我们研究 $S$ 上的双曲锥结构与基本群到 $\text{PSL}_2\Bbb R$ 的表示之间的关系。我们考虑亏格大于 $g$ 的曲面，并证明在适当条件下，每一个欧拉数 $\mathcal{E}(\rho)=\pm\big(\chi(S)+1\big)$ 的表示 $\rho:\pi_1 S\longrightarrow \text{PSL}_2\Bbb R$ 都作为 $S$ 上带单个角为 $4\pi$ 的锥点的双曲锥结构 $\sigma$ 的全纯性（holonomy）出现。由该结果我们推得，对于亏格 $2$ 的曲面，每一个满足 $\mathcal{E}(\rho)=\pm1$ 的表示都作为某个双曲锥结构的全纯性出现。