具有圆锥曲线边界的可积 Kepler 与 Hodge 台球的几何性质

我们研究了一个有质量点状粒子在圆锥曲线边界处的反射几何。粒子受到与 Kepler 势或 Hooke 势相关联的中心力作用。假设圆锥曲线在 Kepler 情形下有一个焦点位于 Kepler 中心，或者在 Hooke 情形下其中心位于 Hooke 中心。当粒子撞击边界时，根据反射定律进行理想反射。已知这些系统是可积的。我们用焦点描述了连续的台球轨道。我们证明了在 Kepler 情形下，这些轨道的第二个焦点始终位于一个圆上。在 Hooke 情形下，我们证明了轨道的焦点位于 Cassini 卵线上。对于这两个系统，我们还分析了轨道准线的包络。