几何相位、曲率与单值群

几何相位要求 Fuchs 型二阶方程解的多值性。在三个奇点情形下，该角度（或其补角）由球面三角形面积的一半给出；在两个奇点情形下，则由球面二角形面积的一半给出。两者均为基本区域，其中自守函数仅取一次值，且一个线性分式变换以基本区域的复制品铺满平面。代表顶点的极点同调为角度的条件对量子数施加了限制，使其不再为整数，否则相位因子将变为 1。必须限制在正则奇点上，因为只有此时微分方程的解才是有理函数，从而覆盖群为循环群，覆盖空间为“螺旋楼梯”。许多具有本性奇点的数学物理方程在零动能时变为具有正则奇点的 Fuchs 型微分方程。几何相位的例子包括相量、不同状态下偏振光束的 Pancharatnam 相位、Aharanov-Bohm 相位，以及具有向心“吸引”的角动量。在最后一个例子中，相位是二角形面积的一半，当无穷远处的极点变成本性奇点时，该二角形消失，从而恢复 Schrödinger 方程。自守函数在边界极限点处的行为类似于线性二阶微分方程中两个正则奇点的合流，从而在无穷远处产生一个本性奇点。