黎曼流形的临界现象：简单同伦与单纯量子引力

我们展示了 Gromov 的有界几何空间如何为解决 $3D$-单纯量子引力中的许多问题提供一般数学框架。特别地，我们建立了熵估计，用以刻画在四面体数量发散时，组合不等价三角剖分 $3$-流形的渐近分布。此外，我们相当详细地阐述了如何利用对曲率、直径和体积具有自然界定的三维黎曼流形空间，来证明三维单纯量子引力与由底层流形的简单同伦类型确定的 Gaussian 模型相联系。这一联系由定义在一般线性群 $GL({\bf R},\infty)$ 上的 Gaussian 测度所确定。结果表明，在热力学极限下，对于引力耦合常数和宇宙学耦合常数的适当取值范围，三维单纯量子引配分函数是良定义的。这些值由与所考虑流形集合的基本群的正交表示相关联的 Reidemeister-Franz 挠不变量确定。所考虑的几何系统也表现出临界行为，在这种情况下，配分函数被精确求值并证明等于 Reidemeister-Franz 挠。此外还讨论了热力学极限下的相结构。具体而言，既存在描述从一个简单同伦类型转变到另一个简单同伦类型的相变，也存在给定简单同伦类型内部的（一阶）相变，这似乎在解析层面上证实了数值模拟所给出的图景。