引力中的几何障碍

这些是基于作者论文 arXiv:1808.09249，在米纳斯吉拉斯联邦大学数学系与物理系所授短期课程及部分讲座的笔记。其中也给出了若干新信息与结果。与原作不同，此处我们试图给出更具物理性的侧重。就此意义，我们给出在一般几何设定下实现由四脚标 Einstein-Hilbert-Palatini（EHP）作用泛函所建模的引力的障碍。特别地，我们证明若时空维数为 $n\geq4$，则宇宙学常数在任何“具体几何”中除洛伦兹几何外均不起作用。若 $n\geq6$，则整个 EHP 理论是平凡的，意味着洛伦兹几何（本质上）是唯一引力（即 EHP 作用泛函）有意义的“具体几何”。“具体几何”的例子包括由群约化 $H\hookrightarrow O(k;A)$（对某 $k$ 与某代数 $A$）局部建模的几何，从而涵盖黎曼几何、厄米几何、凯勒几何与辛几何，以及 II 型几何、Hitchin 广义复几何与 $G_{2}$-几何。我们也研究“抽象几何”（如分次几何（从而超几何））中的 EHP 理论，并展示障碍结果如何推广至该情形。我们构造了自然关联于 EHP 的两个理论，称之为 EHP 的几何/代数对偶，并分析了障碍在这些新理论中的效应。最后，我们推测（并提供证据）存在一种“普适障碍条件”。