Navier-Lamé 算子谱的几何不变量

对于具有光滑边界的紧连通黎曼 $n$-流形 $(\Omega,g)$,我们显式计算出 $\sum_{k=1}^\infty e^{-t \tau_k^\mp}= a_0t^{-n/2} \mp a_1 t^{-(n-1)/2}+a_2^\mp t^{-(n-2)/2} +\cdots+ a_m^\mp t^{-(n-m)/2} +O(t^{-(n-m-1)/2})$ 当 $t\to 0^+$ 时渐近展开的前两个系数 $a_0$ 和 $a_1$,其中 $\tau^-_k$(相应地,$\tau^+_k$)是 $\Omega$ 上带 Dirichlet(相应地,Neumann)边界条件的第 $k$ 个 Navier-Lamé 特征值。这两个系数借助 Navier-Lamé 算子的谱给出了弹性体 $\Omega$ 的体积与边界 $\partial \Omega$ 的表面积的精确信息。这回答了 Avramidi 在 \cite{Avr10} 中提到的有趣公开问题。更重要的是,我们的方法可有效显式计算上述渐近展开中的所有系数 $a_l^\mp$,$2\le l\le m$。作为一个应用,我们证明了在所有具有光滑边界的有界弹性体中,$n$ 维球由其 Navier-Lamé 谱唯一确定。