集合的严格 Hadamard 可微性的几何刻画

设 $S$ 为 Banach 空间 $X$ 的闭子集。假设 $S$ 在其边界 $\bd S$ 中的 $\bar{x}$ 处是 epi-Lipschitz 的，我们证明 $S$ 在 $\bar{x}$ 处严格 Hadamard 可微当且仅当 $S$ 在 $\bar{x}$ 处的 Clarke 切锥 $T(S, \bar{x})$ 包含一个闭超平面，当且仅当 $\bd S$ 在 $\bar{x}$ 处的 Clarke 切锥 $T(\bd S, \bar{x})$ 是一个闭超平面。此外，当 $X$ 为有限维，$Y$ 为 Banach 空间且 $g: X \mapsto Y$ 在 $\bar{x}$ 附近为局部 Lipschitz 映射时，我们证明 $g$ 在 $\bar{x}$ 处严格 Hadamard 可微当且仅当 $T(\mathrm{graph}\,g, (\bar{x}, g(\bar{x})))$ 同构于 $X$，当且仅当集值映射 $x\rightrightarrows K(\gh g, (x, g(x)))$ 在 $\bar{x}$ 处连续且 $K(\gh g, (\bar{x}, g(\bar{x})))$ 同构于 $X$，其中 $K(A, a)$ 表示集合 $A$ 在 $a \in A$ 处的 contingent 锥。