对称逆M-矩阵问题的几何方面

我们从几何视角研究对称逆M-矩阵问题。该几何背景下的核心问题是：n-单形 S 的 k 维面的哪些条件能保证 S 没有钝二面角。首先我们研究所有 k-面均为非钝的 n-单形 S 的性质，并推广了 Fiedler 的一些经典结果。我们证明，若 n-单形 S 的所有 (n-1)-面均为非钝，则每个面与另一个面至多构成一个钝二面角。这有助于确定一种特殊类型的四面体，我们称之为次正交中心(sub-orthocentric)，其性质为：若 S 的所有四面体的面均为次正交中心，则 S 为非钝。用线性代数语言重述，这构成了如下事实的纯几何证明：每个对称超度量矩阵都是弱对角占优 M-矩阵的逆。综述论文支持了我们的信念，即逆M-矩阵问题的线性代数视角在文献中占主导。然而，几何视角将对称正定矩阵逆的矩阵元符号性质与底层单形的二面角性质联系起来，并使得这些角度和符号如何被操控得以显式可视化。这将有助于对 n-单形 S 的 k-面给出纯几何条件，使得即使 k>3 时 S 也可能为非钝。为此，我们将导出超度量矩阵类的次正交中心四面体类推广到次正交中心单形类，后者定义具有 k>3 时特殊类型 k×k 主子矩阵的对称正定矩阵 A。每个次正交中心单形均为非钝，我们猜想任何仅具有次正交中心面的单形本身也是次正交中心的。