测地凸性与 Kneser 图

对于正整数 $n$ 和 $k$，Kneser 图 $K(2n+k,n)$ 是指图 $G=(V,E)$，其中 $V=\{S\subseteq\{1,\ldots,2n+k\} : |S|=n\}$，且当 $u\cap v=\emptyset$ 时存在边 $uv\in E$。Kneser 图具有良好的组合结构，许多参数已被确定，例如直径、色数、独立数，以及最近的（在 $P_3$-凸性背景下的）凸包数。然而，Kneser 图中测地凸性参数的确定仍属开放问题。本文研究 Kneser 图的测地数与测地凸包数。我们给出上界，并确定直径为二的 Kneser 图（构成一个非平凡子族）的这些参数的精确值。我们证明直径为二的 Kneser 图的测地凸包数为二，除了 $K(5,2)$、$K(6,2)$ 和 $K(8,2)$ 的测地凸包数为三。我们还通过给出 $K(2n+k,n)$ 中直径路径端点的刻画，增进了对 Kneser 图的认识，该刻画被用作获得本文若干主要结果的工具。